級數定義
编辑
正弦函数（蓝色）十分接近于它的7次泰勒级数（粉色）
在几何学中，三角函数的定义建立在几何直观上，只用几何和极限的性质就可以直接得知正弦和餘弦的導數。在分析学中，三角函數是解析函數，数学家利用泰勒級數给出了不依赖几何直观的代数定义[11]：
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }
可以证明以上的无穷级数对任意实数
x
{\displaystyle x}
都是收敛的，所以很好地定义了正弦和余弦函数。
三角函数的级数定义經常用作严格处理三角函数和起点应用（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可以从实数系的基础发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
其他三角函数的级数定义：[12]
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
17
x
7
315
+
⋯
(
|
x
|
<
π
2
)
{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots \left(|x|<{\frac {\pi }{2}}\right)}
csc
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
+
1
2
(
2
2
n
−
1
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
=
1
x
+
x
6
+
7
x
3
360
+
31
x
5
15120
+
⋯
(
0
<
|
x
|
<
π
)
{\displaystyle \csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots (0<|x|<\pi )}
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
+
5
x
4
24
+
61
x
6
720
+
⋯
(
|
x
|
<
π
2
)
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \left(|x|<{\frac {\pi }{2}}\right)}
cot
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
=
1
x
−
x
3
−
x
3
45
−
2
x
5
945
−
⋯
(
0
<
|
x
|
<
π
)
{\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots (0<|x|<\pi )}
其中
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
是伯努利数，
E
n
{\displaystyle E_{n}\,}
是欧拉数。
这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从复分析的一條定理得出，这实函数到复数有唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，复数的三角函数是使用上述级数来定义。
与指数函数和复数的關系
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可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle e^{{\mathrm {i} }\theta }=\cos \theta +{\mathrm {i} }\sin \theta \,}
。（i是虚数单位）
欧拉首先注意到这关系式，因此叫做欧拉公式[13]。从中可推出，对实数x，
cos
x
=
Re
(
e
i
x
)
,
sin
x
=
Im
(
e
i
x
)
{\displaystyle \cos x\,=\,\operatorname {Re} \;\left(e^{{\mathrm {i} }x}\right)\;\;,\qquad \quad \sin x\,=\,\operatorname {Im} \;\left(e^{{\mathrm {i} }x}\right)}
进一步还可定义对複自变量z的三角函数：
sin
z
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
z
2
n
+
1
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
=
−
i
sinh
(
i
z
)
{\displaystyle \sin z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z} \over 2{\mathrm {i} }}=-{\mathrm {i} }\sinh \left({\mathrm {i} }z\right)}
cos
z
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
z
2
n
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
=
cosh
(
i
z
)
{\displaystyle \cos z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{{\mathrm {i} }z}+e^{-{\mathrm {i} }z} \over 2}=\cosh \left({\mathrm {i} }z\right)}
sin
(
a
+
b
i
)
=
sin
a
cosh
b
+
(
cos
a
sinh
b
)
i
{\displaystyle \sin(a+b\mathrm {i} )=\sin a\cosh b+(\cos a\sinh b)\mathrm {i} }
cos
(
a
+
b
i
)
=
cos
a
cosh
b
−
(
sin
a
sinh
b
)
i
{\displaystyle \cos(a+b\mathrm {i} )=\cos a\cosh b-(\sin a\sinh b)\mathrm {i} }
tan
(
a
+
b
i
)
=
tan
a
+
(
tanh
b
)
i
1
−
(
tan
a
tanh
b
)
i
{\displaystyle \tan(a+b\mathrm {i} )={\frac {\tan a+(\tanh b)\mathrm {i} }{1-(\tan a\tanh b)\mathrm {i} }}}
（其中
sinh
{\displaystyle \sinh }
、
cosh
{\displaystyle \cosh }
、
tanh
{\displaystyle \tanh }
為雙曲函數，其馬勞克林級數與對應的三角函數很類似，只差在正負號）
複平面中的三角函數（亮度表示函數值的絕對值，色相表示函數值的主輻角）
sin
(
z
)
{\displaystyle \sin(z)}
cos
(
z
)
{\displaystyle \cos(z)}
tan
(
z
)
{\displaystyle \tan(z)}
cot
(
z
)
{\displaystyle \cot(z)}
sec
(
z
)
{\displaystyle \sec(z)}
csc
(
z
)
{\displaystyle \csc(z)}
较少見的三角函數
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單位圓上的三角函數，包括了兩種正矢（versin、vercos）、餘矢（coversin、covercos）、弦函數（crd）、外正割（exsec）和外餘割（excsc）
除了上述六種基本函數，史上還有下列幾種较少見的三角函数：
弦函數（
c
r
d
θ
{\displaystyle \mathrm {crd} \;\theta }
）：早期的三角函數表紀錄的是弦的全長（如托勒密全弦表），對應的三角函數為crd函數。[14]不過今日此函數已被正弦函數取代，已經鮮少使用。
正矢（
v
e
r
s
i
n
θ
{\displaystyle \mathrm {versin} \;\theta }
）、餘矢系列函數，與其半值函數（如半正矢系列函數）：早期導航術中很重要的三角函數之一，因半正矢公式出名。[15]不過其定義和基本三角函數高度相關，因此在计算机和计算器普及後這個函數已經幾乎沒再使用。
外正割（
e
x
s
e
c
θ
{\displaystyle \mathrm {exsec} \;\theta }
）和外餘割（
e
x
c
s
c
θ
{\displaystyle \mathrm {excsc} \;\theta }
）：由於正割和餘割部分的數值十分接近一，因此運算時很容易出現灾难性抵消或數值誤差，因此出現了外正割和外餘割的函數與函數表來解決這類問題。不過這類問題在计算机和计算器普及後逐漸消失，因此這個函數已經幾乎沒再使用。[15]
正矢
v
e
r
s
i
n
θ
=
1
−
cos
θ
{\displaystyle \mathrm {versin} \;\theta =1-\cos \theta }
半正矢
h
a
v
e
r
s
i
n
θ
=
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle \mathrm {haversin} \;\theta ={\frac {1-\cos \theta }{2}}}
餘的正矢
v
e
r
c
o
s
i
n
θ
=
1
+
cos
θ
{\displaystyle \mathrm {vercosin} \;\theta =1+\cos \theta }
餘的半正矢
h
a
v
e
r
c
o
s
i
n
θ
=
1
+
cos
θ
2
{\displaystyle \mathrm {havercosin} \;\theta ={\frac {1+\cos \theta }{2}}}
餘矢
c
o
v
e
r
s
i
n
θ
=
1
−
sin
θ
{\displaystyle \mathrm {coversin} \;\theta =1-\sin \theta }
半餘矢
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
θ
=
1
−
sin
θ
2
{\displaystyle \mathrm {hacoversin} \;\theta ={\frac {1-\sin \theta }{2}}}
餘的餘矢
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
θ
=
1
+
sin
θ
{\displaystyle \mathrm {covercosin} \;\theta =1+\sin \theta }
餘的半餘矢
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
θ
=
1
+
sin
θ
2
{\displaystyle \mathrm {hacovercosin} \;\theta ={\frac {1+\sin \theta }{2}}}
外正割
e
x
s
e
c
θ
=
sec
θ
−
1
{\displaystyle \mathrm {exsec} \;\theta =\sec \theta -1}
外餘割
e
x
c
s
c
θ
=
csc
θ
−
1
{\displaystyle \mathrm {excsc} \;\theta =\csc \theta -1}
弦函數
c
r
d
θ
=
2
sin
(
θ
2
)
{\displaystyle \mathrm {crd} \;\theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}
微分方程定义
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三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具，如简谐振动满足以下微分方程，正弦和余弦函数都满足
y
″
+
y
=
0
{\displaystyle y''+y=0\,}
就是说，它们加上自己的二阶导数都等于0函数。在由所有这條方程的解的二维向量空间
V
{\displaystyle V}
中，正弦函数是满足初始条件
y
(
0
)
=
0
{\displaystyle y(0)=0}
和
y
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle y'(0)=1}
的唯一解，而余弦函数是满足初始条件
y
(
0
)
=
1
{\displaystyle y(0)=1}
和
y
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle y'(0)=0}
的唯一解[16]。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了
V
{\displaystyle V}
的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程）。很明显这條微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足
y
″
=
−
y
{\displaystyle y''=-y\,}
，这意味着它们是二阶导数算子的特征函数。
正切函数是非线性微分方程
y
′
=
1
+
y
2
{\displaystyle y'=1+y^{2}\,}
满足初始条件
y
(
0
)
=
0
{\textstyle y(0)=0}
的唯一解。有个非常有趣的形象证明证明了正切函数满足这微分方程，参见Needham的Visual Complex Analysis。[17]
弧度的重要性
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弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的
f
(
x
)
=
sin
(
k
x
)
;
k
≠
0
,
k
≠
1
{\displaystyle f(x)=\sin(kx);k\neq 0,k\neq 1\,}
则导数将正比于“振幅”。
f
′
(
x
)
=
k
cos
(
k
x
)
{\displaystyle f'(x)=k\cos(kx)\,}
。
这里的
k
{\displaystyle k}
是表示在单位之间映射的常数。如果
x
{\displaystyle x}
是度，则
k
=
π
180
∘
{\displaystyle k={\frac {\pi }{180^{\circ }}}}
。
如果
x
{\displaystyle x}
是圈（轉，
2
π
{\displaystyle 2\pi }
弧度，
360
{\displaystyle 360}
度），則
k
=
2
π
{\displaystyle k=2\pi }
这意味着使用度（或圈）的正弦的二阶导数不满足微分方程
y
″
=
−
y
{\displaystyle y''=-y\,}
，
但满足
y
″
=
−
k
2
y
{\displaystyle y''=-k^{2}y\,}
；
对余弦也是类似的。
这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。因为凡是作为函数意义上的正弦、余弦、正切，都只用弧度定义，而不用360度的角度定义。
利用函数方程定义三角函数
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在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数
sin
{\displaystyle \sin }
和
cos
{\displaystyle \cos }
使得对于所有实数
x
{\displaystyle x}
和
y
{\displaystyle y}
，下列方程成立[18]：
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
,
{\displaystyle \sin ^{2}\!x+\cos ^{2}\!x=1,\,}
sin
(
x
+
y
)
=
sin
x
cos
y
+
cos
x
sin
y
,
{\displaystyle \sin(x+y)=\sin \!x\cos \!y+\cos \!x\sin \!y,\,}
cos
(
x
+
y
)
=
cos
x
cos
y
−
sin
x
sin
y
,
{\displaystyle \cos(x+y)=\cos \!x\cos \!y-\sin \!x\sin \!y,\,}
并满足附加条件
0
<
x
cos
x
<
sin
x
<
x
f
o
r
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0 。 从其他函数方程开始的推导也有可能，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。